سیگما

در اين روش زمان محاسبه يك عدد داراي ‪ d‬رقم براي است با ‪.(d)ln ln d‬
در اين فرمول
(‪ (ln ln d‬به معناي لگارتيم لگاريتم ‪ d‬است. به لحاظ فني اين روش غير تواني است زيرا توان آن ثابت نيست و زياد مي‌شود. اما سرعت اين ازدياد بسيار بسيار كند است. يعني به ازاي ‪ d =10100‬ميزان ازدياد اين توان تنها ‪ ۵.۶‬مرتبه است. رياضي دانان به شوخي مي‌گويند كه ثابت شده اين توان به سمت بينهايت ميل مي‌كند اما چنين چيزي در عمل مشاهده نشده.

سوالي كه براي رياضي دانان مطرح است آن است كه آيا مي‌توان به روشي دست يافت كه به معناي دقيق و فني كلمه روشي تواني باشد. هيچ كس تصور نمي‌كرد كه احتمال چنين موفقيتي وجود داشته باشد تا اينكه گروه آگراوال بمب خود را منفجر كرد.

ايده انقلابي اين سه تن در سال ‪ ۲۰۰۲‬و زماني كه كايال و سكسنا هنوز دانشجوي دوره ليسانس بودند مطرح شد. در ابتداي سال جاري يك روايت بهبود يافته از روش پيشنهادي اين سه كه به آلگوريتم آ.ك.اس شهرت يافته در نشريه "آنالز او متمتيكس ‪ "Annals of Mathematics‬انتشار يافت.

اين آلگوريتم از نوع روشهاي تواني است و علاوه برآن بسيار ساده است (لااقل براي رياضي دانان چنين است). اين روش از اعقاب يك روش آزمون قديمي موسوم به قضيه كوچك پي‌ير فرما است.

اين قضيه را نبايد با قضيه اصلي فرما كه چند سال قبل پس از ‪ ۳۰۰‬سال اثبات شد اشتباه كرد. اين قضيه مبتني بر نوعي حساب متكي به قدر مطلق ‪modular‬موسوم به "حساب ساعت ‪ "clock arithmetic‬است علت آن تست كه در اين روش اعداد به شكل اعداد روي صفحه ساعت جمع مي‌شوند.

براي آشنايي با اين حساب خاص مورد زير را در نظر بگيريد. يك عدد دلخواه انتخاب كنيد و آن را قدر مطلق ‪ modulus‬بناميد. در مثال ساعت، اين عدد خاص كه قدر مطلق ناميده مي‌شود و مبناي محاسبه قرار مي‌گيرد، عدد ‪ ۱۲‬است.

حال در هر نوع محاسبه رياضي با اعداد صحيح براي تبديل آن سيستم عددي به سيستم عددي قدر مطلق ‪ ۱۲‬كافي است بجاي همه مضارب صحيح عدد ‪ ۱۲‬عدد صفر قرار داده شود. همه اعداد ديگر بر همين اساس تغيير مي‌كنند.

مثلا عدد ‪ ۲۵‬برابر است با ‪ . + ۲۴۱‬بنابراين عدد ‪ ۲۵‬در اين سيستم قدر مطلق برابر است با "‪ ۱‬به قدر مطلق ‪ ."۱۲‬سيستمهاي حساب متكي به قدر مطلق به تعريفي كه ذكر شد سيستمهاي زيبايي هستند زيرا در آنها همه قواعد حساب متعارف كار مي‌كند و درعين حال برخي از اعداد غيرصفر درآن ناپديد مي‌شوند.

قضيه كوچك فرما مي‌گويد اگر يك عدد اول را به عنوان قدر مطلق انتخاب كنيد ، داراي يك مشخصه ويژه خواهد بود. اين مشخصه عبارت از آن است كه يك فرمول خاص يعني ‪ (a)p-1‬در اين سيستم همواره برابر يك خواهد بود.

در اين فرمول ‪ p‬عبارت است از عدد اولي كه به عنوان قدر مطلق انتخاب شده و ‪a‬هر عدد ديگر است كه ضريب ‪ p‬محسوب نمي‌شود.

اگر مقدار فرمول بالا برابر يك نباشد آنگاه عددي كه به عنوان عدد اول تصور كرده بوديد يعني ‪ p‬عدد اول نيست.

به اين ترتيب مي‌توان از اين قضيه كوچك فرما به عنوان مبنايي براي تدوين آزموني جهت تعيين اعداد اول استفاده كرد. اين آزمون كاملا بي‌نقص نيست زيرا شماري از اعداد غير اول نيز از غربال آن رد مي‌شوند.

اما مي‌توان روايت هاي پيچيده تر و دقيق تري از اين آزمون را توليد كرد كه بسادگي به اعداد غير اول اجازه ورود ندهند. يك نمونه پيشرفته از اين آزمونها همان روش "آ.پي.آر" است كه در بالا اشاره شد.

گروه آگراوال از همين قضيه كوچك فرما استفاده كرد اما آن را به نحو ديگري بسط داد. اين گروه به عوض آنكه با اعداد كار كنند از چند جمله‌اي‌ها استفاده كردند.

چند جمله‌اي‌ها عباراتي جبري هستند نظير (‪ .a + b(2‬ايده استفاده از اين روش محصول كوشش آگراوال در دوراني بود كه بر روي رساله دكتري خود كار مي‌كرد و به اتفاق استاد راهنماي خويش "سومنات بيسواس" در سال ‪ ۱۹۹۹‬مقاله- اي را به چاپ رساند كه در آن يك روش آزمون اعداد اول پيشنهاد شده بود كه از همين چند جمله‌اي‌ها استفاده مي‌كرد و به شيوه احتمالاتي محاسبات را انجام مي داد.

آگراوال بر اين باور بود كه مي‌تواند اين روش پيشنهادي را دقيق‌تر و عنصر احتمالاتي آن را حذف كرد.

در سال ‪ ۲۰۰۱‬دو تن از دانشجويان او يعني كايال و سكسنا به يك نكته بسيار حساس و فني توجه كردند. ابتدا اين مساله سبب شد تا گروه سه نفره در آبهاي عميق نظريه اعداد غوطه ور شوند، اما اندك اندك برايشان روشن شد كه تنها يك مانع در راه تكميل روشي جهت آزمودن دقيق و سريع اعداد اول وجود دارد.

مانع از اين قرار بود كه روش آنان تنها در صورتي كار مي‌كرد كه عدد اول مورد نظر كه با ‪ p‬نمايش داده مي‌شود همواره در محدوده خاصي جاي داشته باشد كه با اعدادي كه در آزمون شركت داده مي‌شوند مرتبط باشد.

مشخصه ويژه اين مانع آن است كه عدد " ‪ "p-1‬بايد يك مقسوم عليه يا بخشياب بسيار بزرگ باشد.

گروه سه نفر رياضي دانان هندي براي غلبه بر مشكل به هر دري زدند و با بررسي مقالات مختلف بالاخره دريافتند كه در سال ‪ ۱۹۸۵‬يك رياضي‌دان فرانسوي به نام اتن فووري از دانشگاه پاريس ‪ ۱۱‬اين نكته را به صورت رياضي اثبات كرده است. به اين ترتيب آخرين بخش معما حل شد و آلگوريتم پيشنهادي اين سه نفر با موفقيت پا به عرصه گذارد.

اما اين موفقيت "مشروط" بود. به اين معني كه اين روش براي اعداد اولي كه انسان در حال حاضر مي‌توان به سراغ آنها برود از كارآيي چنداني برخوردار نيست. در روايت اوليه روش پيشنهادي، زمان لازم براي محاسبات كه متناسب با ارقام عدد اول مورد نظر بود، با آهنگ ‪ ۱۰۱۲‬ازدياد پيدا مي كرد.

در روايتهاي بهبود يافته اخير اين روش، سرعت ازدياد زمان لازم براي محاسبات به ‪ ۱۰۷.۵‬كاهش يافته اما حتي در اين حالت نيز اين روش در مقايسه با روش آ پي آر تنها در هنگامي موثر تر خواهد بود كه تعداد ارقام عدد اولي كه قصد شكار و يافتن آن را داريم در حدود ‪ ۱۰۱۰۰۰‬باشد.

اعدادي تا اين اندازه بزرگ در حافظه هيچ كامپيوتر جاي نمي‌گيرند و حتي آن را نمي‌توان در كل كيهان جاي داد.

اما حال كه رياضي دانان توانسته‌اند يك طبقه خاص از آلگوريتمهاي تواني را براي شناسايي اعداد اول مشخص كنند، اين امكان پديد آمده كه به دنبال نمونه‌هاي بهتر اين روش بگردند. پومرانس و هندريك لنسترا از دانشگاه كاليفرنيا در بركلي با تلاش در همين زمينه توانسته‌اند زمان لازم براي محاسبات را از توان ‪ ۷.۵‬به توان ‪ ۶‬كاهش دهند.

اين دو از همان استراتژي كلي گروه هندي موسسه كانپور استفاده كردند اما تاكتيهاي ديگري را به كار گرفتند.

اگر فرضيه‌هاي ديگري كه درباره اعداد اول مطرح شده درست از كار درآيد آنگاه مي‌توان زمان محاسبه را از توان ‪ ۶‬به توان ‪ ۳‬تقليل داد كه در اين حد اين روش كارآيي عملي پيدا خواهد كرد.

در اين حالت يافتن اعداد اول با ‪ ۱۰۰۰‬رقم يا بيشتر به بازي كودكان بدل خواهد شد.

اما در نظر رياضي‌دانان مهمترين و جالبترين جنبه كار گروه سه نفره آ ك اس (كانپ.ر) روشي است كه آنان به كار گرفته‌اند.

اعداد اول براي رياضيات از اهميت بنيادين برخوردارند و هر نوع غفلت در فهم ويژگيهاي آنها باعث مي‌شود خللهاي بزرگ در بناي رياضيات پديدار شود.

روش اين سه رياضي دان هندي هرچند اين خللها و نقصها را پر نكرده حداقل به رياضي دانان گفته است كه در كجا به دنبال اين خللها بگردند.

آلگوريتم پيشنهادي اين سه محقق و همه انواع بديلي كه بر اساس آن ساخته شده متكي به وجود اعداد اولي با مشخصه هاي ويژه هستند. و در اغلب موارد استفاده از اين روش مستلزم آن است كه رياضي دانان اطلاعات دقيقي از نحوه توزيع اين قبيل اعداد اول خاص در ميان ديگر اعداد به دست آورند و به اين ترتيب جغرافياي مكاني اعداد اول را مشخص سازند.

روش پيشنهادي آ ك اس به رياضي دانان اين نكته را آموخته كه ويژگيهاي اين جغرافياي مكاني حائز اهميت است و نيز اين كه هنوز دانش كافي در اين زمينه به دست نيامده است.

در گذشته و در زماني كه نظريه اعداد تنها مورد توجه يك گروه كوچك از رياضي دانان بود ، اين مساله چندان اهميتي نداشت. اما در ‪ ۲۰‬سال گذشته اعداد اول موقعيتي استثنايي در عرصه رمز نگاري و دانش طراحي و شكستن رمزها كسب كرده اند.

رمزها صرفا از نظر نظامي و جاسوسي حائز اهميت نيستند بلكه از آنها در عرصه هاي تجاري و نيز فعالييتهاي اينترنتي در مقياس وسيع استفاده به عمل مي‌آيد. هيچ كس نمي‌خواهد كه راهزنان اينترنتي به اطلاعات شخصي مربوط به حسابهاي بانكي يا شماره كارتهاي اعتباري آنان دست يابد.

هم اكنون دزدي مشخصات شناسنامه اي افراد و جعل هويت آنان به صورت يكي از بزرگترين قلمروهاي فعالييتهاي تبهكارانه در سطح بين‌المللي در آمده است.

سازندگان كامپيوترها و ارائه‌دهندگان خدمات اينترنتي با توجه به آنكه در حال حاضر افراد بسياري از فعاليتهاي خود را از طريق اينترنت انجام مي دهند، نظير اينكه پول قبضهاي برق و آب و تلفن خود را مي‌پردازند يا در كلاسهاي مورد نظر ثبت نام مي‌كنند، يا بليت هواپيما و قطار رزرو مي‌كنند، در تلاشند تا از خطر دستيابي تبهكاران به اطلاعات شخصي افراد جلوگيري به عمل اورند.

يكي از مهمترين سيستمهايي كه در اين زمينه مورد استفاده صنايع است سيستم آر اس آ نام دارد كه متكي به اعداد اول است.

اعداد اول مورد استفاده در اين سيستم در حدود ‪ ۱۰۰‬رقمي هستند. سيستم آر اس آ در بسياري از سيستمهاي كامپيوتري مورد استفاده قرار دارد و در پروتكل اصلي براي ارتباطات امن اينرتنتي نيز گنجانده شده است و بسياري از دولتها، شركتهاي بزرگ و دانشگاهها از آن استفاده مي‌كنند. جواز استفاده از اين سيستم براي بيش از ‪ ۷۰۰‬شركت صادر شده و بيش از نيم ميليون كپي از آن در سطح جهاني مورد استفاده قرار دارد.

براي شكستن رمز آر اس آ بايد مضراب اعداد ‪ ۲۰۰‬رقمي يا بزرگتر را پيدا كنيد. هرچند فاكتور گيري يا عامل مشترك گيري از اعداد سخت تر از آزمودن اول بودن آنهاست اما اين دو مساله با يكديگر ارتباط دارند و رياضي دانان از يك ابزار براي حل هر دو مساله استفاده مي‌كنند.

همه اين جنبه‌ها بر اهميت كشف هر روشي براي محاسبه اعداد اول مي‌افزايد.

در سال ‪ ۱۹۹۵‬زماني كه پيتر شور از آزمايشگاههاي بل اثبات كرد كه مجموعه- اي از آلگوريتمهاي تواني براي فاكتور گيري وجود دارد، لرزه بر اندام بسياري افتاد.

اما خوشبختانه براي استفاده از اين آلگوريتم به كامپيوترهاي كوانتومي نياز است كه هنوز در مرحله تكميل تئوريك قرار دارند.

اكنون روش تازه آگراوال و دوستانش دوباره سيستم آر اس آ را در معرض خطر قرار داده است. آگراوال اكنون اين نكته را نشان داده كه مي‌توان با كامپيوتر هاي معمولي، اعداد را از حيث اول بودن مورد آزمايش قرار داد.

سوالي كه اينك مطرح شده آن است كه آيا الگوريتم مشابهي كه به صورت تواني كار كند براي فاكتورگيري اعداد غيراول نيز موجود است؟ پاسخ اغلب متخصصان به اين پرسش منفي است اما متاسفانه اين متخصصان همين حرف را در مورد آلگوريتم تواني مربوط به اعداد اول نيز مي‌زدند
در حال حاضر رياضي دانان واقعا مطمئن نيستند كه كه آيا چنين آلگوريتمي يافت مي‌شود يا نه.

اگر پاسخ مثبت باشد انگاه سيستم آر اس آ ديگر از امنيت برخوردار نيست.

يك عامل تخفيف‌دهنده نگرانيها آن است كه از سيستم آر اس آ براي انتقال همه محتواي پيامها استفاده نمي‌شود بلكه صرفا "كليد هاي رمز" را كه اندازه شان كوچك است با اين سيستم انتقال مي‌دهند.

براي انتقال بقيه پيام از روشهاي رمزنگاري متعارف بهره گرفته مي‌شود. به اين ترتيب جاسوسان در صدد برخواهند آمد كه به كليد رمزها دست يابند.

به اين ترتيب درسي كه از موفقيت گروه سه نفره هندي گرفته مي‌شود آن است كه بايد با احتياط در ارسال پيامها عمل كرد. اگر اكتشافات مشابه آنچه گروه كانپور بدست اورده تكرار شود، انگاه ديگر نمي‌توان به ايمن بودن ارتباطاتي كه روي اينترنت برقرار مي‌شود اطمينان داشت.

طي قرنهاي متمادي رياضي دانان در شرق و غرب عالم به جستجوي راههايي براي دستيابي به اعداد اول برخاسته‌اند و با اين همه بهترين روشهايي كه تا بحال در اين زمينه ابداع شده چنان كند است كه حتي پر سرعت‌ترين كامپيوتر هاي كنوني نيز نمي‌توانند كمك چنداني در شكار اين اعداد شگفت انگيز كنند.

اعداد اول بر طبق تعريف اعدادي هستند كه تنها به ‪ ۱‬و بر خودشان تقسيم پذيرند. به عنوان نمونه اعداد ‪ ۲،۳،۵،۷،۱۱،۱۳،۱۷،۱۹‬اعداد اول كمتر از ‪۲۰‬ در سلسله اعداد طبيعي هستند. اما هرچه در اين سلسله پيش تر برويم اعداد اول ناياب تر مي‌شوند.

بطوريكه اگر چندين ميليون بار به سرعت كامپيوتر هاي كنوني افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترين عدد اولي كه تا به حال شناخته شده افزوده مي‌گردد.

رياضي دانان در آرزوي دست يافته به روشي هستند كه با استفاده از آن بتوانند با سرعت به يافتن اعداد اول توفيق يابند و يا اگر با عددي هر اندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند كه آيا عدد اول است ؟ - اما يافتن چنين روشي به فسفر مغز نياز دارد و نه سرعت كامپيوتر. -
اما يك گروه از رياضي دانان هندي مدعي شده‌اند كه در آستانه دستيابي به همان آزموني هستند كه رياضي دانان قرنها مشتاقانه در آرزويش بوده اند.

مانيندرا اگراوال ‪ ,Manindra Agrawal‬و دانشجويانش نيراج كايال ‪Neeraj‬ ‪ Kayal‬و نيتين سكسنا ‪ Nitin Saxena‬در موسسه تكنولوژي كانپور مدعي شده‌اند كه در آستانه تكميل آزموني هستند كه اول بودن يا نبودن هر عدد طبيعي را با سرعت مشخص مي‌كند. اين آزمون در صورتي كه تكميل شود مي‌تواند تبعات و نتايج بسيار گسترده‌اي براي جهان كنوني به بار آورد.

درحال حاضر بسياري از معاملات تجاري و نقل و انتقالات مالي و نيز مبادله اطلاعات محرمانه از طريق شبكه هاي مخابراتي مانند اينترنت و با بهره گيري از رمز كردن پيامها به انجام مي‌رسد.

اعداد اول در تنظيم اين قبيل رمزها نقشي اساسي بر عهده دارند و از همين رو دستيابي به اعداد اول جديد كه ديگران از آن بي‌خبر باشند براي سازندگان اين رمزها و نيز مشتريان آنان از اهميت زياد برخوردار است.

اما اگر روش اين محققان هندي تكميل شود در آن صورت امنيت اين قبيل نقل و انتقالات در معرض خطر جدي قرار خواهد گرفت.

سابقه قرار گرفتن رياضي دانان تحت جاذبه اعداد اول به قرنها پيش باز مي گردد. در سال ‪ ۱۸۰۱‬كارل گائوس از بزرگترين رياضي دانان اعلام كرد كه مساله تشخيص اعداد اول از اعداد غير اول يكي از مهمترين مسائل حساب به شمار مي‌آيد.

اعداد اول به يك معنا همان نقشي را در سلسله اعداد بازي مي‌كنند كه اتمها در ساختار بناي كيهان دارند- اين اعداد سنگ بناي ناپيداي ديگر اعداد محسوب مي‌شوند.

يكي از عادي‌ترين راههاي شناسايي اعداد اول تقسيم آن به ديگر اعداد است.

از طرف ديگر با اندكي تامل روشن مي‌شود كه اعداد زوج عدد اول نيستند زيرا همگي بر ‪ ۲‬قابل قسمتند.

اعدادي كه بتوان جذر آنها را به دست آورد نيز اول نيستند. اما اين روشها براي شناسايي اعداد اول بزرگ به كلي بي‌فايده‌اند. به عنوان مثال اگر عدد اولي داراي ‪ ۱۰۰‬رقم باشد در آن صورت كل عمر باقيمانده از كيهان بر اساس نظريه هاي جديد كيهانشناسي نيز براي مشخص كردن اول بودن يا نبودن اين عدد با اين شيوه هاي متعارف كفايت نمي‌كند.

بنابراين رياضي دانان به سراغ روشهاي ديگر رفته‌اند. مهمترين سوال در مورد همه اين روشها آن است كه با چه سرعتي مي‌توانند يك عدد اول را مشخص كنند و با ازدياد ارقام عدد اول زمان لازم براي محاسبه چه اندازه طولاني تر مي شود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتي از شمار ارقام عدد ازدياد يابد در آن صورت اين روش روش قابل قبولي به شمار آورده مي‌شود .

به اين نوع روشها كه زمان به صورت تواني در آنها افزوده مي‌شود "روشهاي تواني" مي‌گويند. روشهاي ديگر كه زمان در آنها با سرعت بيشتري افزايش مي‌يابد روشهاي غيرتواني نام دارند.

به عنوان مثال روش تقسيم معمولي يك روش غيرتواني براي يافتن اعداد اول است. در اين روش زمان لازم براي تعيين اول بودن يك عدد با ‪ d‬رقم، برابر با ‪ /۱۰d/2‬اين نوع روشها بسيار نامناسبند.

در سال ‪ ۱۹۵۶‬منطق‌دان برجسته آلماني كورت گودل اين پرسش را مطرح ساخت كه آيا مي‌توان اين نوع روشهاي تقسيم را بهبود بخشيد. تلاش خود او نهايتا به كشف شماري از روشهاي عملي براي يافتن اعدادي به بزرگي ‪ ۱۰۰‬رقم يا بيشتر منجر شد. همه اين روشها احتمالاتي هستند و بنابراين در مواردي پاسخ غلط به دست مي‌دهند هرچند كه اين موارد بسيار نادرند.

ادامه دارد...